Titta

UR Samtiden - Inspirerande matematik

UR Samtiden - Inspirerande matematik

Om UR Samtiden - Inspirerande matematik

Två tusen lärare och skolforskare möts för att prata matematik och pedagogik. Utmaningen ligger bland annat i "att hjälpa eleverna att hitta in i matten, att väcka deras lust och intresse". Några av landets bästa föreläsare står på scenen. Några av landets mest entusiastiska mattelärare delar med sig av sina erfarenheter. Föredragen spelades in på Matematikbiennalen på Umeå universitet i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Till första programmet

UR Samtiden - Inspirerande matematik : Solrosor, tempel, badringar och matematikDela
  1. Tack så mycket och välkomna.

  2. Vi börjar med dagens schema.

  3. Jag påstår att alla är matematiker,
    fast vi inte alltid tänker på det.

  4. Lite grann om intuitiv matematik.

  5. Sen tänkte jag ringa in
    det här med vad matematik är.

  6. Det kanske alla har en egen bild av.
    Nu tar jag min.

  7. Jag avslutar med
    några spännande exempel-

  8. -som en gång i tiden
    gav mig en aha-upplevelse.

  9. Jag började med matematik igen...

  10. Jag har hållit på i 25-30 år nu,
    men det är ganska sent i livet.

  11. Jag hade en bild av
    att matte var ganska trist.

  12. Ungefär som Beppe i serien
    Ensamma mamman av Cecilia Torudd.

  13. "Fördömda matte. Va?"

  14. "Det verkar stämma.
    Nu fattar jag ingenting."

  15. Jag känner igen mig i Beppe
    från min skoltid.

  16. Det här med matematik är ibland
    mer tur än någon djupare förståelse.

  17. Så här såg det ut-

  18. -när jag provade på att studera
    matematik vid Uppsala universitet.

  19. Det var efter studentexamen.

  20. 300 studenter packade som sardiner
    i en alldeles för liten sal.

  21. Längst fram stod en man-

  22. -matematiker, med ryggen mot oss.

  23. Han skrev och suddade
    och skrev och suddade.

  24. Vad han skrev
    var omöjligt att se och förstå.

  25. Än mindre varför han började sudda.

  26. Jag slutade med matematik. Jag gav
    upp. Jag förstod faktiskt ingenting.

  27. Finns något ämne det är så lätt
    att misslyckas i som matematik?

  28. Man behöver bara vara...

  29. ...frånvarande ett antal timmar för
    att hamna ohjälpligt på efterkälken.

  30. Det är också väldigt enkelt
    att göra bort någon i matematik.

  31. Så att han eller hon... Hen.

  32. ...känner sig dum. Många känner sig
    dumma när de inte förstår.

  33. I den andra boken om Alice
    i Underlandet, "Bakom Spegeln"-

  34. -frågar drottningen Alice:
    "Kan du addition?"

  35. "Vad är ett, ett, ett, ett, ett, ett,
    ett, ett, ett och ett?"

  36. "Jag vet inte", sa Alice.
    "Jag tappade räkningen."

  37. Alice hann inte ordna ettorna.

  38. Hon hittade ingen struktur,
    så hon tappade bort sig.

  39. Men om de tio ettorna hade grupperats
    på något av de här sätten...

  40. Det sätt som är vanligt
    när man röstar, till exempel.

  41. Man ritar fyra streck
    och korsar det femte.

  42. Eller två tärningar. Då hade hon
    direkt sett att det var tio ettor.

  43. Genom att forma ett mönster
    får vi en strategi.

  44. Ett sätt att tänka.
    Det är just det som är matematik.

  45. Vi är alla matematiker
    fast vi inte tänker på det.

  46. Barn både vill och kan räkna
    långt innan de börjar skolan.

  47. De älskar att säga räkneramsan.

  48. Redan två-, tre-åringar
    kan koppla tal till mängd.

  49. Det här är Noel när han var tre år.

  50. Vi åt middag.
    Hans pappa, farmor och så barnet.

  51. Efteråt skulle han hämta glasspinnar
    till oss...

  52. ...ur frysen. Vi var tre. Jag trodde
    att han skulle hämta tre glassar-

  53. -så när han kom med fyra
    blev jag lite bekymrad.

  54. Det jag trodde, verkade inte stämma.

  55. "Fyra? Hur många hämtade du?"

  56. "Fyra", svarade han förtjust. Du
    får en, pappa får en. Jag tar två."

  57. Se på den här flickan.

  58. Hon hoppar över det
    geometriska mönstret till en hage.

  59. Hon hoppar och räknar
    i en bestämd ordning.

  60. Vilken glädje och kraft
    som finns i hennes hopp.

  61. I den här enkla leken finns en mängd
    viktiga matematiska begrepp.

  62. Kvadrater, lika långa sidor
    med räta vinklar.

  63. Jag har kapat bilden lite,
    men i änden finns en cirkel.

  64. I vilken ordning ska man hoppa?

  65. Rutorna är numrerade,
    även om det inte är utskrivet.

  66. De vet vad som är första
    och andra rutan, och så vidare.

  67. Både stenen och hopparen
    ska landa inuti en ruta.

  68. Man får inte landa på kanten.

  69. Vid cirkeldelen
    gör man en vändning på 180 grader.

  70. Barn som hoppar hage
    visar att de kan dessa begrepp.

  71. Även om de inte kan
    de matematiska orden för det.

  72. Det finns många olika regler
    för att hoppa hage.

  73. Det kan skilja mellan olika orter.

  74. Försök rita en hage
    där vinklarna inte är räta.

  75. Då möter ni en upprorisk storm.
    Det kommer barnen inte att gilla.

  76. Förutom att hoppa hage tycker alla om
    att spela spel och leka affär.

  77. På min tid lekte vi Post.
    Det var väldigt nyttigt och bra-

  78. -men det är väl ingen
    som vet hur det fungerar nu.

  79. Men att räkna
    och rita geometriska mönster-

  80. -är något vi har med oss-

  81. -så det är alltså
    ett slags intuitiv matematik.

  82. Det här är också
    ett exempel på intuitiv matematik.

  83. Detta mönster stickades av
    Märta-Stina Abrahamsdotter-

  84. -i Hälsingland
    i slutet av 1800-talet.

  85. Det är romber och hjärtan.

  86. Många olika slags figurer-

  87. -som är ordnade regelbundet,
    harmoniskt och symmetriskt.

  88. Märta-Stina har säkert skapat det här
    på instinkt.

  89. Hon har inte tänkt på
    att det är matematik, men det är det.

  90. Hon höll på med matematik.

  91. Vi håller dagligen på med matematik
    av olika slag.

  92. När vi stickar, till exempel.

  93. Vi handlar mat,
    tar ut pengar på banken, spelar kort-

  94. -tippar, läser sportresultat-

  95. -och mäter upp hostmedicin.
    Då handlar det om att räkna.

  96. Vi använder bestämda,
    pålitliga räkneregler-

  97. -som att 2 + 2 = 4
    och 4 x 13 = 52.

  98. Just detta, att matematiken så ofta
    förknippas med aritmetik-

  99. -gör att många av oss, vi som inte
    vet så mycket om matematik-

  100. -tror att det är något stelt,
    fixt och färdigt och ganska trist.

  101. Tal och räkning är väldigt nödvändiga
    som hjälpmedel i vår vardag.

  102. Men de är bara en del av matematiken.

  103. Man kan kalla dem
    matematikens skelett.

  104. Sen finns massor av kött utanpå det.

  105. En annan del är geometri.

  106. Den behöver vi
    för att förstå linjer och former.

  107. Allt runt oss har en form,
    även skuggan. Stora och små.

  108. Fyrkanter och trianglar.
    Regelbundna och oregelbundna.

  109. Det finns hur många former som helst.

  110. När vi ska beskriva hur något ser ut
    behöver vi de geometriska begreppen.

  111. Här bygger Sixten och Inez
    med klossar.

  112. Inez bygger en figur framför sig
    som inte Sixten får se.

  113. Hon beskriver varje kloss hon lägger-

  114. -så att Sixten kan bygga en likadan
    utan att kika på henne.

  115. Det är en ganska avancerad uppgift.

  116. Man kan prova den på vuxna
    med lite svårare former.

  117. Det är en bra övning,
    men börja med några få klossar-

  118. -innan ni lägger en figur
    som uppe i högra hörnet.

  119. Vi använder vår kunskap
    om geometri och former till mycket-

  120. -inte minst
    när vi bygger och konstruerar.

  121. Hur skulle det gå att cykla
    om hjulen var kvadratiska?

  122. Det skulle nog gå lite trögt.

  123. Så räkning och geometri är
    jätteviktiga områden i matematiken-

  124. -men matematik
    är så väldigt mycket annat.

  125. Här har jag listat ett antal punkter.

  126. Om någon försöker skriva av det...
    Det kommer tillbaka.

  127. Jag ska gå igenom punkt för punkt.

  128. Matematik är en vetenskap
    som är ungefär 6 000 år gammal.

  129. Den första av alla vetenskaper.
    Tala om kulturarv.

  130. Forskningen har växt enormt
    de senaste hundra åren.

  131. Bara sen ungefär 1950 har det växt-

  132. -mycket mer än all matematik...

  133. De 6 000 åren före 1950.

  134. Men det hör vi aldrig talas om.

  135. I skolan-

  136. -har vi fastnat
    någonstans runt Newtons matematik.

  137. I stort sett, i alla fall.
    Inget av de senaste rönen.

  138. Däremot använder vi de senaste rönen.

  139. Matematik är också ett språk. Ett
    mycket exakt och komprimerat språk-

  140. -obegripligt för den
    som inte har lärt sig det.

  141. Men man begriper egentligen inte
    kinesiska heller utan att träna.

  142. Det är förstås ett skäl till varför
    många vet så lite om matematik.

  143. Matematiken kräver träning. Man lär
    sig inte bara genom att lyssna.

  144. Man måste uppleva och känna.
    Laborera och uppleva med alla sinnen.

  145. Precis som när man lär sig
    spela gitarr måste man träna mycket.

  146. Det kan ju barnen, så det gäller-

  147. -att de får samma lust för
    matematiken. Det är er uppgift.

  148. De som inte gillar eller begriper sig
    på matematik får stöd av Goethe.

  149. "Matematikerna är en sorts fransmän.
    De översätter det man säger"-

  150. -"och så blir det genast
    något helt annat."

  151. Det kan man ibland
    hålla med honom om.

  152. Om ni tittar på den här bilden...

  153. De tre långa linjerna
    som ser något sånär horisontella ut-

  154. -hur lutar de egentligen?

  155. De lutar inte alls, faktiskt.
    De är helt parallella.

  156. Ser det ut så för er också?
    På min lilla datorbild-

  157. -ser de inte parallella ut.

  158. Här är två röda streck-

  159. -som på min skärm ser olika långa ut-

  160. -men de är exakt lika långa.

  161. Här är tre klossar
    uppställda efter varandra.

  162. De ser ganska olika ut i höjd,
    men de är exakt lika stora.

  163. Det är oerhört svårt... Inte svårt.

  164. Det är oerhört lätt att lura vår syn-

  165. -liksom det är oerhört lätt
    att lura alla våra sinnen.

  166. Vi säger ju att
    solen går upp och solen går ned-

  167. -men det är ju jorden
    som snurrar runt solen.

  168. Den rör sig med en otrolig hastighet.
    30 kilometer i sekunden.

  169. Ofattbart.
    Det är 10 000 mil på en timme.

  170. Men inte känner vi någon fartvind.
    Det kan blåsa, men av andra skäl.

  171. Fartvinden känner vi inte.

  172. Så vi kan inte lita på oss själva.
    Vi behöver ett verktyg.

  173. Till det har vi matematik.
    Det är ett utomordentligt instrument-

  174. -som kan beskriva verkligheten
    när vi själva missar den.

  175. Till exempel när astronomer
    letar efter svarta hål-

  176. -eller fysikerna sätter upp teorier
    om big bang och atomernas egenskaper.

  177. Teknikerna som beräknar kärnkraftens
    utbyggnad eller avveckling.

  178. Matematiken är ett oerhört viktigt
    verktyg inom alla vetenskaper.

  179. Det är faktiskt den drivande kraften-

  180. -i nästan all modern vetenskap.

  181. Det är en hjälpgumma,
    eller ett hjälpmedel.

  182. Praktisk i vardagslivet.

  183. Vi använder samma enkla principer
    när vi beräknar universums ålder-

  184. -som när vi ska beräkna hur mycket
    pengar vi har på bankkontot.

  185. Det är samma slags matematik.

  186. Väderprognoser
    kan inte göras utan matematik.

  187. All teknik grundar sig på matematik-

  188. -inte minst den här bildvisningen
    och den här salen.

  189. Utan matematik skulle vi fortfarande
    vara grottmänniskor och leva på bär.

  190. När vi vill veta hur mycket
    eller hur många vi har av något-

  191. -hur stort något är,
    hur fort vi rör oss-

  192. -i vilken riktning vi åker-

  193. -hur stor chansen är
    att vinna på lotteri, eller risken-

  194. -att bli överkörd
    på väg till den här aulan-

  195. -på hur många sätt
    vi kan kombinera någonting...

  196. Pålägg på en pizza eller något
    sådant, då kan matematiken ge svaret.

  197. Matematik är konst.

  198. Till exempel den här. Den holländska
    konstnären Piet Mondrian-

  199. -utforskade geometriska former
    under stor del av sitt liv-

  200. -och använde sig av gyllene snittet
    som vi återvänder till senare.

  201. Han jobbade med räta vinklar,
    men aldrig några diagonaler.

  202. I går var jag på en trevlig
    föreläsning om Mondrians konst.

  203. Hur man kunde räkna på den.

  204. Till exempel
    sambandet mellan area och omkrets.

  205. Jag kan tipsa er att läsa om det
    i katalogen som kommer.

  206. Det var jättemycket. Det tog en timme
    att berätta, så jag hinner inte.

  207. Det tydligaste, och kanske viktigaste
    sambandet mellan konst och matematik-

  208. -där konsten har påverkat
    matematiken, är perspektivläran.

  209. Det här är "Kristi gisslande"-

  210. -av 1400-talskonstnären
    Piero della Francesca.

  211. Han skrev den första boken
    om perspektivlära.

  212. Som jag redan har varit inne på
    är matematik också som ett hantverk.

  213. Det finns överallt, utom här inne.
    Inte så mycket mönster.

  214. Det brukar finnas på golv, väggar,
    trottoarer, murar, textilier.

  215. Keramik. Överallt hittar man mönster
    som har med matematik att göra.

  216. Eller som i det här vackra lapptäcket
    av siden-

  217. -som syddes för runt hundra år sen
    av Olivia Johansson i Göteborg.

  218. Hon fick sina bitar till detta vackra
    täcke från sin systers syateljé.

  219. Om man frågar matematiker bryr de sig
    inte mycket om tillämpningar.

  220. De menar att matematik
    framför allt handlar om fantasi.

  221. Idéer, lek, intuition-

  222. -och kanske en smula galenskap.

  223. Matematikens kärna är att tänka-

  224. -logiskt, metodiskt och fantasifullt.

  225. Att kunna se samband och mönster
    när man löser problem.

  226. Precis som konstnärer
    som målar tavlor-

  227. -eller poeter som skriver dikter,
    så skapar matematiker sällsamma verk.

  228. Tankekonstruktioner som ofta kan
    börja leva sitt eget liv.

  229. Det har vi tagit fasta på,
    Sven Nordqvist-

  230. -och jag, i boken "Matte med mening".

  231. Ni får gärna titta på dem sen.

  232. Han har ställt en forskare framför
    staffliet, precis som konstnären.

  233. Sonja Kovalevsky var världens första
    kvinnliga professor i matematik-

  234. -och också den enda
    under många årtionden.

  235. Hon kom till
    Stockholms högskola 1880.

  236. Men hon slutade ganska snart
    att forska i matematik.

  237. Hon vann en matematiktävling
    i Frankrike.

  238. Sen hoppades hon att hon skulle-

  239. -få jobb på universitetet i Paris.

  240. Men det fick hon ju inte,
    för inget universitet-

  241. -i hela världen
    var öppet för kvinnor på den tiden.

  242. Hon blev besviken, och det var säkert
    kallt här uppe i Norden.

  243. Hon började skriva romaner istället.

  244. Hon sa: "Det är inte så stor skillnad
    som man kan tro"-

  245. -"mellan att forska i matematik
    och att författa skönlitteratur."

  246. "Människor som aldrig fått tillfälle
    att lära sig matematik"-

  247. -"blandar ihop den med aritmetik och
    anser den vara en torr vetenskap."

  248. "I själva verket är matematik den
    vetenskap som fordrar mest fantasi."

  249. Enligt Sonja Kovalevsky.

  250. Allt detta, som är matematik, skulle
    behöva komma fram i undervisningen.

  251. Då tror jag-

  252. -att matematiken skulle bli mer
    begriplig och mer inpassad i livet.

  253. Den ingår i vårt liv.

  254. Den är inte något
    man bara läser för att man måste.

  255. Som att matematik
    är något man håller på med i skolan-

  256. -och inget därutöver.

  257. Då kommer vi till några exempel...

  258. ...som har gett mig
    en aha-upplevelse.

  259. "Det hade jag inte en aning om för
    30 år sedan när jag började igen."

  260. Först något väldigt enkelt,
    men genialt.

  261. Titta på den här fyrsidingen.

  262. Den här enkla figuren
    där alla sidor är olika långa.

  263. Om man binder ihop mittpunkterna...

  264. Alltså delar varje sida i mitten
    och binder ihop punkterna-

  265. Då blir de två korta sidorna lika
    korta, och de två långa, lika långa.

  266. Det blir alltså en parallellogram.

  267. Vi kan göra hur många figurer
    som helst.

  268. Fyrsidingar, alltså.
    De kan vara spetsiga eller trubbiga.

  269. Se ut precis hur som helst.
    Binder vi ihop-

  270. -mittpunkterna
    så får vi en parallellogram.

  271. Ska man...

  272. Jag tänker så här...
    Jag tar fram den där igen.

  273. Att upptäcka det mönstret-

  274. -är kanske varken intuition
    eller något annat.

  275. Det handlar om att man har fått
    ett genialiskt infall.

  276. Men jag tycker att det här är-

  277. -ett typexempel.
    Sinnebilden för matematik.

  278. Man ritar och skissar
    och hittar ett mönster.

  279. Sen gäller det att bevisa det.
    Bevis finns det massor av.

  280. Det här är en jättebra grej
    att hålla på med, tycker jag.

  281. Att se hur det kommer att stämma.
    Stämmer det?

  282. "Går det här också?",
    undrar en av Sven Nordqvists figurer.

  283. "Kolla det", säger fågeln.

  284. Det här kallas för Varignons teorem.

  285. Det finns...

  286. Pierre Varignon var ungefär samtida
    med Newton.

  287. Googla "Varignons teorem"-

  288. -eller "Varignons quadrilateral"
    så hittar ni massor av olika bevis-

  289. -och tips på
    hur man kan jobba med det här.

  290. Mitt andra exempel
    är något som kallas topologi-

  291. -eller en ny sorts geometri,
    "gummibandsgeometri".

  292. Här kommer det in
    lite galenskap också.

  293. I den klassiska geometrin,
    Euklides geometri-

  294. -som vi alla är skolade i...

  295. Där ska man tycka att den sladdriga
    ballongen i vänstra hörnet-

  296. -är ganska olik
    cirkeln längst ned till höger.

  297. Jag menar...

  298. Både till form och storlek.

  299. Men en topolog
    tycker att de är identiska.

  300. Det är absolut ingen skillnad på dem
    om man är topolog.

  301. De består av en sluten kurva,
    en insida och en utsida.

  302. Det är det enda man bryr sig om.
    Egenskaper som inte förändras.

  303. Antal kanter, eller antal hål.

  304. Om man stoppar in ett hål i cirkeln-

  305. -är den inte identisk med ballongen.

  306. Därför, av samma skäl...
    Hur fungerar det här?

  307. ...anser matematiker
    att en kaffemugg-

  308. -är identisk med en badring
    eller en flottyrkokt munk-

  309. -om man jämför storlekarna.

  310. Man får tänka sig att...

  311. En mugg har ju ett hål i örat.

  312. Man tänker sig att man pressar in
    kaffekoppen i örat-

  313. -så att det blir en ring. På så sätt
    är en kaffekopp identisk med en munk.

  314. Det är bara matematiker
    som kan tycka så, egentligen.

  315. Man måste vara matematiker
    för att tycka så.

  316. Med det här exemplet vill jag visa-

  317. -att matematiker kan undersöka allt,
    bara man är logisk och konsekvent.

  318. Man får inte hoppa över till Euklides
    med den här typen av geometri.

  319. Då går det åt skogen.

  320. Upprinnelsen till den här matematiken
    är Eulers formel.

  321. Leonhard Euler
    var en otroligt produktiv-

  322. -och skicklig schweizisk matematiker.
    Man kan jämföra honom med Mozart.

  323. Han är en matematikens Mozart.

  324. Han lekte med många enkla figurer.

  325. Han höll på med frågor även
    vanligt folk har lätt att förstå.

  326. Han bevisade väldigt många,
    ofta enkla problem-

  327. -men som var svåra att bevisa.
    Han var fena på det.

  328. Han band ihop linjer, hörn
    och punkter-

  329. -och studerade vad som växte fram.

  330. Tänk att vi har fem punkter,
    de svarta kryssen.

  331. Vi binder ihop dem med fem linjer.

  332. Det kallas kanter och hörn,
    och så har vi områden.

  333. I den här figuren finns fem hörn,
    fem kanter och två områden.

  334. Om man bygger på figuren
    med två punkter och binder ihop-

  335. -är vi uppe i sju hörn, åtta kanter
    och tre områden.

  336. Jag lägger till en punkt och binder
    ihop med två linjer, eller kanter.

  337. Då får vi åtta hörn, tio kanter
    och fyra områden.

  338. Man kan täcka hela arket-

  339. -bara man håller reda på områdena.

  340. Här räknar vi
    området utanför figuren också.

  341. Är det något märkvärdigt med den där?

  342. Det var det Euler grubblade över.

  343. Han tänkte
    att han kunde räkna på något sätt.

  344. Han funderade över antalet hörn.

  345. Kanske ta det minus antalet kanter
    och plussa på antalet områden.

  346. Vad blir det?

  347. Det visar sig att det blir två,
    åtminstone i de första fallen.

  348. Fem hörn minus fem kanter
    plus två områden är två.

  349. Sju hörn minus åtta kanter plus tre
    områden är två. Och så vidare.

  350. Men blir det alltid två?
    Det måste det väl inte?

  351. Det blir det,
    och det bevisade Euler.

  352. Då kom formeln.
    Antalet hörn, minus antalet kanter-

  353. -plus antalet områden är alltid två.

  354. Det gäller
    även om man går upp en dimension.

  355. Vi tänker oss att kuben svävar fritt.

  356. Den ligger inte på ett papper
    och har inget område utanför sig.

  357. Då blir det åtta hörn.

  358. Tolv kanter och sex sidor.
    Det är kubens sidor som räknas här.

  359. 8 - 12 + 6 = 2.

  360. Det blev två igen.
    Han kunde mycket, den där Euler.

  361. Den här formeln gäller för
    vilken dimension vi än går upp i.

  362. En del fysiker vill pracka på oss-

  363. -åtminstone elva, tolv dimensioner-

  364. -även om de är inbäddade någonstans.

  365. Vi räknar ju bara med fyra.

  366. Somliga räknar med
    elva, tolv dimensioner.

  367. Då kan man använda sig av
    Eulers formel.

  368. Därför har topologi-

  369. -blivit populärt bland teoretiska
    fysiker som studerar universum.

  370. Vilken form det har
    och hur gammalt det är.

  371. Är universum ändligt eller oändligt?

  372. Det är en topologisk fråga.

  373. Just nu lutar det åt... Jag tror
    att ett Nobelpris har delats ut-

  374. -till några
    som anser det vara oändligt.

  375. Det kan bli ett nytt Nobelpris
    när någon kommer på något annat.

  376. Här kom det här med universum-

  377. -som ingen tvärsäkert
    kan säga något om.

  378. Nu kommer jag tillbaka till solrosen-

  379. -som jag har tagit
    som ett slags symbol.

  380. För den är så rolig, tycker jag.

  381. Vi ska räkna spiraler på solrosen
    som Sven Nordqvist har ritat.

  382. Först tar vi
    alla spiraler som går medsols.

  383. Det blir 21.

  384. 21 stycken går medsols.

  385. Motsols finns 34 spiraler.

  386. Den här är väldigt liten. Det är
    jobbigt att teckna en solros så noga-

  387. -så den är ganska liten.

  388. Den vanligaste solrosen
    har 34 spiraler medsols-

  389. -och 55 motsols.

  390. Det finns större.

  391. 55 medsols och 89 motsols.

  392. Det finns jättestora
    som har 89 spiraler medsols-

  393. -och 144 spiraler motsols.

  394. Världsrekordet-

  395. -jag vet inte var det kommer ifrån...

  396. Säkert några vidder i USA,
    kan man tänka sig.

  397. Där har man hittat
    144 spiraler medsols i frökorgen-

  398. -och 233 motsols.

  399. Om man nu hittade ännu större-

  400. -skulle det bli 233 medsols
    och 377 motsols.

  401. Det här
    är alltså sambandet mellan talen.

  402. Det kommer igen...

  403. Det här är tal i Fibonaccis talserie.

  404. Ni ser på slutet av första raden-

  405. -och en bit in på andra raden
    att talen i solrosorna dyker upp.

  406. Man kan titta på höljet på kottar.

  407. Man kan titta på
    hur potatisblast växer på potatisen.

  408. Eller hallon.

  409. Väldigt mycket växer i spiralform
    och då hittar man...

  410. Åtminstone svenska kottar-

  411. -brukar ha fem medsols-

  412. -och åtta spiraler motsols
    i sina höljen.

  413. Lite längre söderut, där kottarna
    är stora, kommer man upp i högre tal.

  414. Varje tal i talserien är summan av
    de två närmast föregående.

  415. Tvåan är ett plus ett.

  416. Trean är ett plus två.

  417. Femman är två plus tre.
    Åttan, tre plus fem, och så vidare.

  418. Fibonaccis talföljd
    är ett jättebra exempel på-

  419. -hur något förändras stegvis.

  420. Varje tal i serien
    är summan av de två föregående-

  421. -och alla tal förändras
    vartefter serien framskrider.

  422. Den stegvisa matematiken-

  423. -har numera en egen kurs på gymnasiet
    som heter "diskret matematik".

  424. Diskret matematik
    är inte det minsta diskret.

  425. Den är varken taktfull eller försynt.

  426. Det betyder
    att något förändras ett steg i taget.

  427. Till skillnad från något
    som förändras kontinuerligt.

  428. Planetens rörelse runt solen
    är kontinuerlig.

  429. Det hade sett ut om den var stegvis!

  430. Precis som en strömbrytare
    kan vara på och av...

  431. Planeten är som en dimmer-

  432. -medan på och av är det stegvisa.

  433. Det är diskret matematik.

  434. Datorer arbetar alltid stegvis
    med nollor och ettor.

  435. Man kan börja med Fibonaccis talserie
    och introducera stegvis matematik.

  436. Fibonacci, som har gett namn
    åt talföljden-

  437. -var en italiensk matematiker
    på 1200-talet.

  438. Han sägs ha kommit på det här-

  439. -när han studerade kaniners sexliv,
    helt enkelt.

  440. Kaniner är kända för
    att få många ungar.

  441. Fibonacci ville veta hur många
    par ungar som föds under ett år.

  442. Som den goda matematiker han var,
    så gjorde han en modell.

  443. En sorts förenkling
    av kaninernas sexliv.

  444. Han utgick från ett par kaniner.

  445. I januari får de inga barn.
    En nolla.

  446. I februari är de könsmogna
    och får ett par ungar.

  447. Den första ettan till höger.

  448. I mars får de ytterligare ett par-

  449. -medan de som är födda i februari
    inte är könsmogna än. En etta till.

  450. I april får första paret ungar-

  451. -och de födda i februari
    får ett par ungar. En tvåa.

  452. Ni hänger med, hoppas jag.

  453. Jag vrickar tungan om jag ska
    tala om hur alla paren får ungar.

  454. I vilket fall som helst.

  455. I december så föds 89 par ungar.

  456. Det är ju tal som ingår i talserien.

  457. Nu ska vi leka med detta
    och göra en ny talserie.

  458. En talserie av bråk
    med talen i Fibonaccis talserie.

  459. Ovanför bråkstrecket
    står Fibonaccital-

  460. -och under bråkstrecket
    står talen som är närmast före-

  461. -det som står ovanför bråkstrecket.

  462. Då ska vi räkna ut kvoten
    på de här bråken.

  463. Ni kan titta på det i mitten.
    21 / 13.

  464. De första är ganska ointressanta.

  465. Men 21 / 13 = 1,615.

  466. 34 / 21 = 1,619.

  467. Vi går nedåt.
    144 / 89 = 1,617, och så vidare.

  468. Vid 233 / 144,
    längst ned till vänster-

  469. -blir kvoten 1,618,
    och där stannar den.

  470. Fortsätter man med bråken-

  471. -ändras decimalutveckling något,
    men de första siffrorna är lika.

  472. Det talet är det säkert många
    som känner igen som gyllene snittet.

  473. Vad är det för likhet-

  474. -mellan ett grekiskt tempel
    och en fotboll?

  475. För att se sambandet måste vi studera
    gyllene snittet lite närmare.

  476. Gyllene snittet
    är en ren konstruktion.

  477. Ett sätt att dela en sträcka.

  478. Den längre delen, alltså a-

  479. -förhåller sig till
    den kortare delen, b-

  480. -som hela sträckan, a + b, förhåller
    sig till den längre delen, a.

  481. Det finns bara en enda lösning-

  482. -och det är 1,618033 och så vidare.

  483. Om man byter ut-

  484. -bokstäverna mot tal i Fibonaccis
    talserie ser det ut så här.

  485. Hela sträckan, 377.

  486. Den långa delen, 233,
    och den kortare 144.

  487. Det är en ren konstruktion...

  488. ...som grekerna upptäckte-

  489. -eller skapade,
    vågar jag nästan påstå.

  490. De konstruerade det
    för ungefär 2 500 år sedan.

  491. Det här anses särskilt harmoniskt,
    åtminstone i västerlandet.

  492. I templet Parthenon
    är det bredden genom höjden-

  493. -som är två Fibonaccital,
    eller blir 1,618.

  494. En klassisk fotboll...

  495. Så här ser de nästan inte ut längre.
    ...består av-

  496. -tolv svarta femhörningar
    och 20 regelbundna sexhörningar.

  497. I den regelbundna femhörningen-

  498. -är diagonalen genom sidan,
    vilken diagonal som helst-

  499. -1,618.

  500. Håll med om
    att det här är fantastiskt.

  501. Både talen i talföljden
    och proportionerna på templet-

  502. -i en mänsklig konstruktion...

  503. Ändå finns de här talen i naturen.

  504. Det är inte underligt
    att folk trodde-

  505. -att Gud var matematiker
    förr i tiden.

  506. Åtminstone geometriker.

  507. Om det funnits tid
    hade man här kunnat lägga in-

  508. -en berättelse om
    den grekiska kulturen-

  509. -som ju har betytt oerhört mycket
    för vår matematik.

  510. All nutidens
    effektiva matematiska verktyg-

  511. -från hur vi planerar månresor
    och landar på månen-

  512. -till hur vi sätter pris på bananer-

  513. -har sin grund i
    den grekiska matematiken.

  514. Men det får ni läsa om.

  515. I "Den fantastiska matematiken",
    till exempel.

  516. Jag tror att det är väldigt viktigt
    att vi förstår att det är människor-

  517. -som har skapat matematiken.

  518. Och att det är en process
    som har tagit tusentals år.

  519. Matematiken är
    under ständig utveckling.

  520. Formlerna har kommit till utifrån
    människors idéer, tankar, behov-

  521. -och skaparkraft.
    De finns inte bara.

  522. De kommer inte ur intet,
    vilket man kan tro i en skolsal.

  523. Det är som om formlerna var givna.

  524. Det är inte säkert. De kunde ha
    sett ut på ett helt annat sätt.

  525. Carl Friedrich Gauss, Leonhard Euler,
    Bernhard Riemann, Henri Poincaré-

  526. -David Hilbert och Sonja Kovalevsky.

  527. Jag hade aldrig hört talas om dem
    när jag gick i skolan.

  528. Ändå är de
    matematikens motsvarigheter-

  529. -till personer som
    Tolstoj, Beethoven och Picasso.

  530. För att inte tala om
    Mozart och Darwin.

  531. Men matematiker
    gör sällan något väsen av sig.

  532. Och jag hade ingen aning om att det
    också funnits kvinnor i matematiken.

  533. Förutom den begåvade
    Sonja Kovalevsky-

  534. -till exempel Emmy Noether.

  535. Hon vigde hela sitt liv åt
    matematiken, ofta utan att få betalt.

  536. Hon är en av skaparna av
    den moderna, abstrakta algebran.

  537. Utan hennes alster
    hade Albert Einstein-

  538. -inte kunnat formulera
    relativitetsteorin.

  539. Det fanns också en geometri klar
    för honom att använda-

  540. -som var ny på 1800-talet.

  541. Hon har...
    Vad skulle han annars ha gjort?

  542. Han var inte matematiker.
    Han kunde inte göra den algebran.

  543. Henne hör vi inte heller talas om.

  544. Jag uppmanar er att sätta lite kött
    på formler och regler.

  545. Berätta om människorna
    bakom matematiken.

  546. Också om processerna.
    Att det faktiskt har växt fram.

  547. Det här är Märta och Stina
    för några år sedan.

  548. I går fyllde de sex år.

  549. De är smarta, nyfikna och busiga.

  550. Eftersom de fyllde sex år
    börjar de skolan i höst.

  551. För deras skull,
    och för alla barns skull-

  552. -önskar jag att matematikämnet
    var mycket mer varierat.

  553. Mer som ett smörgåsbord-

  554. -än makaroner och falukorv varje
    mattelektion. Om ni tillåter bilden.

  555. Jag menar att de behöver möta
    olika sorters problem.

  556. Man måste öppna dörrar
    till olika delar av matematiken.

  557. Sådana som stimulerar
    och förhoppningsvis ger barnen-

  558. -fortsatt lust till matematiken.
    För lusten, den har de i dag.

  559. Det visar de jämt.

  560. Det var min önskan.

  561. Tack.

  562. Textning: Rosanna Lithgow
    www.broadcasttext.com

Hjälp

Stäng

Skapa klipp

Klippets starttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.

Klippets sluttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.Sluttiden behöver vara efter starttiden.

Solrosor, tempel, badringar och matematik

Produktionsår:
Längd:
Tillgängligt till:

Alla är matematiker, fast vi inte alltid tänker på det, utan räknar intuitivt. Det säger Kristin Dahl, hedersdoktor vid Umeå universitet och författare till en rad matteböcker. Själv hoppade hon av matematikstudier som ung. Föreläsningarna var för tråkiga och inbundna. Men idag vet hon att matte kan vara en rolig lek. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Ämnen:
Matematik, Pedagogiska frågor
Ämnesord:
Matematik
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning

Alla program i UR Samtiden - Inspirerande matematik

Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Invigning av matematikbiennalen

Peter Nyström, föreståndare för Nationellt centrum för matematikutbildning, inleder Matematikbiennalen 2014. Han talar om att ge lärarna stöd att hjälpa eleverna hitta sin väg till matematiken. Margareta Rönngren (S), ordförande För- och grundskolenämnden, Umeå, talar om vikten av kompetensutveckling för mattelärare. Inspelat i februari 2014. Arrngör Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Bedöma kunskaper med diagnosverktyget Diamant

Diagnosmaterialet Diamant spänner från årskurs 1 till 9. Det är tänkt som ett stöd att hjälpa lärarna bedöma eleverna, men också som en hjälp att planera undervisningen. Madeleine Löwing, konstruktör av Diamant och Maj Götefelt, undervisningsråd vid Skolverkets enhet för prov och bedömning, förklarar hur materialet är uppbyggt. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Att laborera med matte i datorn

Med hjälp av datorn kan eleverna aktiveras och begripa matematiken från ett annat håll. Bengt Aspvall, professor i datalogi, visar hur det går att arbeta praktiskt och lekfullt med matten i klassrummet. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Detta krävs för bra, formativ bedömning

Man kan alltid bli bättre, hur bra man än undervisar. Det säger matematikforskaren Torulf Palm. Men vad ska man utveckla? Hans förslag är formativ bedömning, som enligt många forskare är ett av de mest effektiva sätten att öka elevernas kunskaper. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Resonera och kommunicera i matte

Matematik är ett språk man utvecklar hela livet. Lär man sig ett nytt språk får man ett ökat självförtroende. Pernilla Tengvall och Hanna Almström, båda NO- och mattelärare, talar om fem strategier för ett formativt förhållningssätt där ett gott gruppklimat och delaktighet är några av hörnstenarna. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Vilka elever behöver särskilt stöd i matte?

Vad behöver man tänka på när man har en elev med särskilda behov i klassrummet? Inkludering socialt och didaktiskt är särskilt viktigt. Helena Roos, lärare vdi Linnéuniversitetets speciallärarprogram, och Anette Bagger, lärarutbildare vid Umeå universitet, berättar om sina erfarenheter. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Begripliga kunskapskrav för gymnasiet

Det finns några problem de flesta lärare känner igen. Hur bedömer man en elev som uppfyller kraven i nästan alla moment, men saknar några nästan helt? Det finns lösningar, menar Johan Falk, gymnasielärare i NO och matematik. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Matematiken och politiken

Kunskap, vetenskap och forskning är svaret på hur Sverige framöver ska kunna konkurrera ute i världen. Det säger utbildningsminister Jan Björklund (FP). Sverker Olofsson leder en frågestund med utbildningsministern. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Solrosor, tempel, badringar och matematik

Alla är matematiker, fast vi inte alltid tänker på det, utan räknar intuitivt. Det säger Kristin Dahl, hedersdoktor vid Umeå universitet och författare till en rad matteböcker. Själv hoppade hon av matematikstudier som ung. Men idag vet hon att matte kan vara en rolig lek. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Att lära sig matte med huvudräkning

För att kunna räkna i huvudet måste man lära sig en mängd strategier och välja den som passar bäst för situationen. Det säger Wiggo Kilborn, lärarutbildare. Men det är inte säkert att samma metod passar alla individer. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Inspirerande matematik

Kul och kreativa NO- och matematikexperiment

Ett pärlband av konkreta experiment för NO- och matteklassrummet. Hans Persson, lärarfortbildare, visar i en kunskapsshow, hur man kan ha det både kul och lärorikt i klassrummet. Inspelat i februari 2014. Arrangör: Umeå universitet.

Produktionsår:
2014
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Visa fler

Mer lärarfortbildning & matematik

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
TittaLivets hårda skola

Vuxenvärlden

Vilket ansvar har de vuxna i lärandet? Hur är man en bra vuxen förebild och hur hanterar man relationen till ett barn? Hur tänker läraren Petra som har ett så enormt ansvar? Musse går till botten med hur han själv var som liten genom att fördjupa sig i sin relation till sin pappa. Genom en elev får han också uppleva engagerade föräldrar med en positiv hem- och lärandemiljö.

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
LyssnaLärarrummet

Cecilia Christiansen

Matematikläraren Cecilia Christiansen har fått flera priser för sitt pedagogiska arbete. Hon vill öppna andras ögon för fördelarna med att använda digitala skrivtavlor. Med en sådan kan läraren plocka in hela världen i klassrummet och bara resursbrist och teknikrädsla kan vara hindrande.

Fråga oss