Titta

UR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

UR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Om UR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Föreläsningar från Matematikbiennalen 2018. Det är en mötesplats för lärare, skolledare, forskare, lärarutbildare och andra matematikintresserade. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Till första programmet

UR Samtiden - Matematikbiennalen 2018 : Den symboliska matematikenDela
  1. När ni jobbar med matematik...

  2. Matematik är, eller har,
    ett välstrukturerat symbolspråk.

  3. Thomas heter jag.
    Jag ska inleda den här föreläsningen-

  4. -och så småningom kommer Djamshid
    att ta över rollen som föreläsare.

  5. Vi tänker inte
    prata om programmering.

  6. Alla föreläsningar som jag har gått
    på har handlat om det på nåt sätt.

  7. Vi ska prata om symboler, även om det
    används också inom programmering.

  8. Inom forskarvärlden pratar man om
    matematiska objekts representationer.

  9. Det är intressant att "symbol"
    betyder representation av nåt annat-

  10. -nåt som man vill förmedla
    med en symbol-

  11. -i stället för med just det
    som man vill förmedla.

  12. Så en symbol är på nåt sätt knutet
    till en representation av nåt.

  13. Det kan vara ett abstrakt begrepp,
    en idé eller en egenskap.

  14. I vårt fall, inom matematik,
    är det oftast matematiska objekt-

  15. -eller relationer mellan objekt,
    som pi, som används som symboler.

  16. Och tittar man på symboler
    utanför matematiken-

  17. -så finns det mängder av symboler
    som används just nu i vår värld.

  18. Det finns ingen avsaknad av symboler
    för nåt ämne i stort sett.

  19. Trafiksymboler. Alla som har körkort
    känner till mängder av dem-

  20. -som ju faktiskt ska aktivera nån typ
    av respons hos oss som bilförare-

  21. -och relativt snabbt också.
    Vi ska veta hur vi ska agera.

  22. Det finns symbolbaser för
    myndighetsutövning runt om i världen.

  23. Den här widgit-symbolbasen
    är inte bara svensk.

  24. Det innebär att man kan känna till
    "få" eller "klocka" eller "kompis"-

  25. -eller nåt annat
    baserat på var man är.

  26. "Grönsaker"
    som internationell symbol.

  27. Och emojis. Visst använder ni det!

  28. Kanske använder ni det just nu,
    eller förut i dag-

  29. -eller kanske fick ett meddelande
    med hjälp av en emoji.

  30. Det finns alltså mängder med symboler
    som symboliserar nåt-

  31. -men som ibland uppmanar oss
    att göra nåt.

  32. Det här är vanliga symboler
    för att dela med sig-

  33. -för att e-posta nåt, logga in
    på Google Drive, etc, etc.

  34. Så symboler styr hur vi tolkar
    förlopp och egenskaper-

  35. -runtomkring i vår omvärld.

  36. Sen finns det den symboliska
    matematiska världen.

  37. Det finns nog inte nåt annat ämne
    som har så många symboler som matten-

  38. -och som använder symboler
    på så många olika sätt-

  39. -beroende på vilken del av
    matematiken som man befinner sig i.

  40. Om vi tittar på var symbolerna
    kommer ifrån så vet vi inte det.

  41. Skrivkonsten är inte så gammal,
    men...

  42. Nånstans för kanske 200 000 år sen
    så började man antalsbestämma.

  43. Rättare sagt det fanns ett behov av
    att kunna antalsbestämma.

  44. Vi vet inte heller
    när räkneorden kom, ett, två, tre-

  45. -men det är nåt som barn lär sig
    hemma vid köksbordet-

  46. -eller i familjesammanhang
    långt innan skolan börjar.

  47. Man antalsbestämde för att veta
    hur många som kom tillbaka från jakt-

  48. -hur mycket fångst man hade fått
    eller hur många som gick ut i krig.

  49. Antalsbestämning styrde antagligen
    de första symbolerna.

  50. Det tidigaste som jag vet är varg-
    benet från Mähren i forna Tjeckien...

  51. Eller kanske i dåvarande Tyskland,
    nuvarande Tjeckien, så är det väl?

  52. Vargbenet bedöms vara
    30 000 år gammalt-

  53. -och på det finns det streck karvat
    för att antalsbestämma.

  54. Det är väl det som är tidigast.

  55. Om man tittar på folk
    på stenåldersnivå...

  56. Det finns ju indianstammar utan
    nån kommunikation med yttervärlden-

  57. -som nästan alltid har hittat på
    nån typ av talsystem-

  58. -oftast med bas 5, 10 eller 20.

  59. Det finns ju ett antal länder som
    fortfarande räknar med basen 20-

  60. -Danmark och Frankrike exempelvis,
    i sitt talspråk.

  61. Men de flesta har väl gått från basen
    fem, handens fingrar, till basen tio.

  62. Och tittar vi på samma antal så ser
    vi att strecken är en primitiv form.

  63. Så fort det egentligen
    blir fler än sex-sju-

  64. -så är det ganska mödosamt att
    beteckna och representera antalet.

  65. Då är det lättare att ta symbolerna
    som är till höger på er bild...

  66. Jag var tvungen att kolla.

  67. Det här är ju två olika tidsepoker.

  68. Det tog lång tid för oss att enas om
    hur vi skulle skriva 47 med siffror.

  69. I mer modern historia så har vi ju
    hittat Rhind-papyrusen-

  70. -och skrivsättet är ju vad som
    brukar kallas för egyptisk matematik.

  71. Annorlunda än de siffror
    vi skriver i dag.

  72. 10 angavs med ett annat skrivsätt
    och så vidare.

  73. Multiplikation löstes ofta
    via fördubbling.

  74. Det finns mycket forskning även om
    nordisk matematik som växte fram så.

  75. Islänningarna var först med
    att översätta europeiska skrifter.

  76. Där var fördubbling en egenskap
    man använde för multiplikation.

  77. Man dubblade och sen tar man
    de fördubblingar som behövs.

  78. Åtta, fyra och ett gånger nåt
    blir ju tretton gånger samma-

  79. -och då kan man lösa ut det.

  80. Ja. Till siffrorna då.

  81. Dem tar vi för självklara,
    men det var de faktiskt inte.

  82. De kommer troligtvis från Indien,
    men ingen vet-

  83. -och spreds via morerna
    som kom till Europa.

  84. Där tog det ganska lång tid för dessa
    att slå igenom.

  85. De här siffrorna
    ansågs ju vara vanvördiga-

  86. -eftersom kyrkan
    premierade romerska siffror.

  87. Det tog lång tid i Sverige att få
    det här decimala positionssystemet.

  88. Vi hade ett eget decimalsystem
    som inget annat land tog efter.

  89. Så småningom bytte vi ut det.

  90. I dag har i stort sett hela världen
    samma talsystem-

  91. -baserat på samma siffror.

  92. Men tittar vi på hur man skrev
    siffror i olika länder-

  93. -så ser vi att det vi har
    är det som kallas modern arabiska.

  94. Nollan var inte i många skriftspråk
    en symbol utan bara en punkt.

  95. Ja, det är också en symbol,
    men en mindre symbol än nollan.

  96. Tittar vi in i matematiska symboler
    så ser vi att...

  97. ...vi ofta har punkt för
    multiplikation, men också för annat.

  98. Vi har ett minustecken,
    vi har ett additionstecken-

  99. -vi har multiplikationstecken
    som kanske ibland ser ut som ett x.

  100. Vi har tilldelningspilar
    och många grekiska bokstäver kvar-

  101. -i vårt symbolspråk.

  102. Jag vet inte hur väl ni ser det, men
    det här kallas euklidisk geometri.

  103. Här finns det mängder av delsymbolik-

  104. -som egentligen inte används
    i nån annan del av matematiken.

  105. Det är typiskt matematik att uppfinna
    eller ta fram symbolhantering-

  106. -som just gäller för det området,
    i detta fallet euklidisk geometri.

  107. Tittar vi då på matematiska objekt...
    Här är det vår syn på det här.

  108. Det kan finnas andra som vill
    referera till dem på annat sätt.

  109. ...så brukar de kunna representeras
    symboliskt med symboler.

  110. Här ser ni att "y=2x"-

  111. -indikerar att detta är en rät linje-

  112. -som dessutom relaterar
    till ett koordinatsystem.

  113. Så det finns andra begrepp
    som är i spel här under.

  114. Man kan numeriskt beskriva det här
    i en värdetabell.

  115. Den kan också ses
    representera en rät linje.

  116. Om man sätter ut punkterna
    i ett koordinatsystem-

  117. -kan man dra en rät linje.

  118. Vi kan uttrycka det verbalt
    genom att namnge grafen-

  119. -till en linjär funktion
    med en viss lutning-

  120. -som dessutom har
    en viss skärningspunkt.

  121. Vi kan rita detta grafiskt.

  122. I dag är det väl möjligt att rita
    nästan allt med tekniska hjälpmedel.

  123. Men grafisk representation
    har ju funnits länge.

  124. Ja, för att glida över
    till forskning om...

  125. ...elevers eller studenters eller
    studerandes förståelse av symboler-

  126. -så är det betydligt lättare för alla
    att lösa uppgifter med siffror.

  127. Det finns mängder med forsknings-
    rapporter, artiklar, böcker, arbeten-

  128. -som undersöker just detta.

  129. Allt blir svårare med symboler...
    kognitivt sett.

  130. Och här har vi två vanliga symboler.

  131. Ett bråkstreck,
    som det heter på svenska...

  132. ..."a fraction sign"
    och ett multiplikationstecken.

  133. Vet ni hur många som klarar en sån
    uppgift i det svenska skolsystemet?

  134. Det är inte bara
    det svenska skolsystemet.

  135. Det är 20 % av eleverna
    som kan detta.

  136. Det här lär man sig först
    i fjärde-femte-sjätte klass.

  137. Till en viss del lär man sig
    vad tal i bråkform betyder, är-

  138. -och hur det ska hanteras
    rent aritmetiskt.

  139. Sen kommer det i åttonde klass.
    Jag undervisar inte i grundskolan.

  140. Sen kommer det tillbaka på gymnasiet.

  141. Och tittar man på hela gymnasiet,
    alla som läser Matte 1-

  142. -så är det 80 % som misslyckas
    med den här typen av uppgift.

  143. Anledningen är att symbolformeln inte
    är fullständig i talet till vänster.

  144. Det står inte 4 genom 1. Skriver man
    ut det så lyckas många fler.

  145. Då har de en metod
    som de har lärt sig.

  146. Men den metoden är inte tillämpbar
    om det ser ut på detta sättet.

  147. En av fem!

  148. Om vi frågar på gatan är det kanske
    en av tio som vågar sig på det.

  149. Intressant. Det får ju återverkningar
    på mängder av tillämpningar.

  150. Sannolikhetslära anges ofta
    som ett rationellt tal.

  151. Det vill säga en chans på 3 eller 6
    att få en sexa-

  152. -på en vanlig,
    oskadad eller ofixad tärning.

  153. Långt upp i åldrarna,
    ekvationslösning och så vidare-

  154. -kan man misslyckas just på grund av
    att man inte har med sig en tolkning-

  155. -av just den här symboliken.

  156. Det behöver inte bli svårt,
    rent matematiskt-

  157. -för att bli väldigt svårt
    för elever.

  158. Det finns många som har tolkat det
    här. Vi har radat upp några studier.

  159. Torrige & Gladding, MacGregor
    & Stacey, många visar på samma.

  160. Det är inget svenskt dilemma, att man
    inte kan hantera symboler i uttryck.

  161. Just elever i sjunde-åttonde-nionde
    klass är kanske de mest undersökta.

  162. Sen har vi skrivit ihop att vi kan
    koppla det till Piagets stadieteori.

  163. Piaget gav oss inte bara konstrukt-
    ivism utan också stadietänkande-

  164. -att alla som är sju år ska gå i
    samma klass, alla som är nio också.

  165. Vilket ju är helt vansinnigt
    om vi tittar på kognitiv mognad.

  166. Det är praktiskt. Det är omöjligt
    att ändra till utifrån vad man kan.

  167. Men det borde naturligtvis vara så.

  168. Här finns ett antal kategoriseringar-

  169. -av hur man använder symboler.

  170. Det här anknyter ju till forskning
    om elevers uppfattningar-

  171. -också om funktioner och derivata
    som ofta är givet som rationella tal.

  172. Man härleder derivatans definition
    med rationella tal.

  173. Tänk er då att sitta och titta på
    ett sånt bevis, en sån härledning-

  174. -och inte veta
    vad ett rationellt uttryck betyder.

  175. Återigen så uppfattar elever ibland
    funktion som operation-

  176. -från ett tal som ger ett annat tal.

  177. Att introducera funktioner
    som processer-

  178. -är inte alltid objektifierat
    eller accepterat-

  179. -av elevernas kognitiva tänkande.

  180. Det har också gjorts svenska studier.
    Örjan Hansson, Michele Artigue...

  181. Ja, och det här
    är väl också klassiskt.

  182. Jag redovisar det här för att vi ska
    tala om en studie med gymnasieelever-

  183. -där man faktiskt kan härleda en del
    av svårigheterna tillbaka till-

  184. -svårigheten att se rationella tal
    som tal.

  185. Jag nämnde Piaget. Jag vet inte
    vad ni känner till om konstruktivism.

  186. Det känns ju lite vådligt att på en
    biennal prata om teorier om lärande.

  187. Jag är övertygad konstruktivist.
    Vi skapar vår del av världen.

  188. Inte radikal konstruktivist, då tror
    jag inte att ni ser världen som jag.

  189. Jag tror att vi skapar mening av
    världen genom att observera den.

  190. Och sen kan, beroende på tycke
    och smak och ansats och intresse-

  191. -vi skapa olika delar av förståelse
    för olika världar, naturligtvis.

  192. I vår studie som vi publicerade-

  193. -har vi använt Tall & Vinners
    konstruktivistiska begreppsbild.

  194. Alla begrepp som vi har
    inom vårt tänkande-

  195. -inom vår mentala värld,
    har både en begreppsdefinition...

  196. "Cirkel" kan jag definiera på olika
    sätt, relatera till olika objekt.

  197. ...och en begreppsbild, jag kan se en
    cirkel framför mig, känna igen den.

  198. Vi har använt
    de tre matematiska världarna.

  199. En av de tre matematiska världarna
    är just den symboliska världen.

  200. Den första är den
    som vi slickar oss in i-

  201. -och smakar och luktar på
    och känner på när vi är små.

  202. Innan vi möter symboler,
    i stort sett.

  203. Innan vi börjar skolan
    eller kanske innan fem års ålder-

  204. -så är vi helt och hållet
    i den här visuella, spatiala-

  205. -igenkännande, omslutande,
    inkluderande världen.

  206. Men även där är det faktiskt
    en del kognitivt svårt-

  207. -exempelvis då att ni kan se
    en cirkel, fast jag ritar en ellips.

  208. Den är lite längre åt det hållet,
    men ni kan ändå tänka er en cirkel.

  209. Så småningom, om man går i skolan,
    om föräldrarna pratar om siffror-

  210. -så kommer vi in i
    en symbolisk, matematisk värld.

  211. Här finns det symboler som egentligen
    inte har nån decimalform, som pi.

  212. Pi går inte att uttrycka
    i decimalform.

  213. I så fall får man ge ett närmevärde
    och ange antalet decimaler.

  214. Men det är inte pi man anger då,
    utan nåt skilt från pi-

  215. -med en viss felmängd, så att säga.

  216. Sen finns det även
    nåt som kallas för procept-

  217. -det vill säga en summering 2+3=5-

  218. -har både en process, det vill säga
    själva summeringsprocessen-

  219. -som går att använda till alla tal-

  220. -och ett resultat, ett fixt begrepp.

  221. Just det exemplet
    brukar kallas för procept.

  222. Det är många elever som är inne
    på procept utan att veta om det.

  223. Den tredje matematiska världen brukar
    kallas för den formella världen-

  224. -där axiom finns, och så vidare.

  225. Det är egentligen inte nåt
    som är främmande för grundskolan.

  226. Där säger vi att vinkelsumman i
    en triangel är 180 grader, ett axiom.

  227. Ett axiom som man kan bygga på
    och använda när man beräknar-

  228. -eller i så fall härleder fram
    andra satser.

  229. Sen finns Pythagoras sats för
    rätvinkliga trianglar. En sats.

  230. Så den axiomiska världen
    finns i grundskolan-

  231. -det här är inget
    som kommer på universitetet-

  232. -utan finns alltså inom de nio åren
    som vi kallar för grundskolan.

  233. -Ska vi byta?
    -Ja, tack.

  234. Jag vill presentera en studie-

  235. -som genomfördes vid
    Göteborgs universitet 2016.

  236. "Gymnasieelevers tolkningar avseende
    matematiska representationer"-

  237. -"av rätlinjig rörelse."

  238. Rörelse är ett begrepp
    som diskuteras, exemplifieras-

  239. -och problematiseras på olika sätt-

  240. -både inom gymnasieskolans
    matematik- och fysikkurser.

  241. Syftet var att titta på
    hur gymnasieelever tolkar-

  242. -olika sätt att framställa
    begreppet rörelse-

  243. -genom graf och
    genom symboliska framställningar.

  244. Det vi ska titta närmare på i dag
    är förstås det symboliska.

  245. Hur tolkar gymnasieelever symboliska
    representationer av rörelse?

  246. Vilka begreppsbilder
    ger eleverna uttryck för?

  247. Det var en kvalitativ studie eftersom
    det rörde sig om ett fåtal elever-

  248. -närmare bestämt 22 stycken.
    10 flickor, 12 pojkar.

  249. Samtliga läser på Naturvetenskapliga
    programmet i årskurs två.

  250. Det var gruppdiskussioner.

  251. Grupper om två-tre elever diskuterade
    och löste ett antal uppgifter.

  252. Hela händelseförloppet, diskussionen,
    videofilmades och transkriberades.

  253. Det här var den femte frågan
    som eleverna fick jobba med.

  254. Det ser ut
    som vilken standarduppgift som helst-

  255. -som återfinns
    i nästan kanske varje mattebok-

  256. -men de visste att det inte var
    rätt och fel vi var intresserade av-

  257. -utan den diskussion
    de förde kring frågorna-

  258. -och hur de sätter ord
    på sina tankar.

  259. Här kommer resultatet:

  260. Så här finns anledning att tro
    att nästan hälften av eleverna-

  261. -inte visste vad de hade räknat fram.

  262. Det här är en del av
    en större diskussion-

  263. -nämligen fenomenet att eleven räknar
    fram ett tal eller en funktion-

  264. -men vet inte
    vad han eller hon har räknat fram.

  265. Man kan inte tolka resultatet.

  266. Och det här... Vi kommer att titta
    snabbt på några citat från studien.

  267. Det här är ett exempel på de elever
    som inte kunde tolka resultatet-

  268. -men kunde räkna fram 17

  269. "Kan man inte göra 5B?"

  270. Här framgår ganska tydligt att
    eleverna vägrar svara på frågan.

  271. De vill gärna gå till nästa uppgift.

  272. Här är ett exempel på elevgrupper-

  273. -som räknade fram
    differenskvotens värde, 17-

  274. -och kunde tolka det här
    som medelhastighet.

  275. Sträckan vid 55 minus 21
    och sen 34 genom 2, 17 m/s.

  276. Och sen svarar man
    "medelhastigheten".

  277. Här har vi grupper som kunde
    räkna fram differenskvotens värde-

  278. -och tolka resultatet.

  279. Nästa uppgift: "Hur långt har
    objektet hunnit efter 8 sekunder?"

  280. Här har samtliga 22 elever
    löst uppgiften korrekt.

  281. Lösningstiden varierar-

  282. -från 20-30 sekunder till 5 minuter.

  283. Det här är ett exempel på en
    elevgrupp som tog nästan 5 minuter-

  284. -för att lösa den här uppgiften.
    Här ställer man frågan:

  285. "Men om man ska skriva in 8:an i
    formeln, lägger man i båda eller...?"

  286. Funktionen var 2t i kvadrat plus t.

  287. Här undrar eleven om det är båda t
    som ska tilldelas värdet 8.

  288. Det här är ett exempel
    där eleverna...

  289. ...behövde 20-30 sekunder
    för att komma fram till rätt svar.

  290. 2x64 är 128, plus 8 är 136 meter.

  291. Tredje uppgiften handlade om
    momentanhastigheten vid 8 sekunder.

  292. 10 av 22 elever
    lyckades inte skilja på-

  293. -medelhastighet
    och momentanhastighet.

  294. Det intressanta här är att samtliga
    elever som inte kunde skilja på dem-

  295. -var elever som inte
    kunde tolka differenskvoten.

  296. Här har vi ett exempel
    på en elevgrupp-

  297. -som inte fick ordning på det här.

  298. Återigen så tar man 136 meter
    från föregående uppgift-

  299. -och delar på 8 sekunder
    och svarar 17 m/s...

  300. ...vilket är medelhastigheten under
    tiden, inte momentanhastigheten.

  301. Det här är ett exempel på elevgrupper
    som deriverade-

  302. -eller hade en lösningsstrategi för
    att komma fram till rätt resultat.

  303. Här har vi en elevgrupp
    som har deriverat funktionen 4t+1-

  304. -och sen tilldelar man t 8
    i derivatan och svarar 33 m/s.

  305. "Hur vet vi det? För att derivatan
    av en funktion i en punkt"-

  306. -"ger förändringshastigheten
    i just den punkten."

  307. Ja.

  308. Vi hade ett citat där eleven
    tolkar funktionen som en formel-

  309. -som en maskin där man kan stoppa in
    ett tal och så får man ett annat tal.

  310. Det var det Thomas var inne på.

  311. Vi vet genom tidigare forskning
    att eleverna har en förenklad bild-

  312. -av symbolspråket i funktioner.

  313. Det är en maskin där man kan stoppa
    in ett tal och få ut ett annat tal.

  314. Här hade vi en elevgrupp-

  315. -som ville skriva in talen
    i en formel.

  316. Det här mönstret återkommer även
    i den här studien.

  317. Och Thomas var inne på
    procedurellt tänkande.

  318. Det här gäller
    alla symboler i matematik-

  319. -från de grundläggande symbolerna
    i aritmetik, addition, subtraktion-

  320. -till de mest komplexa
    inom talteori och mängdlära.

  321. En symbol kan tolkas på två sätt.
    Varje symbol har två dimensioner.

  322. Det ena är kopplat till en process-

  323. -där man går igenom
    en sekvens av operationer-

  324. -och det andra är begrepp.

  325. Så differenskvoten i den här studien-

  326. -kan ses som en process, det vill
    säga en sekvens av operationer-

  327. -där man tilldelar x värdet 3 och 5,
    subtraherar och dividerar-

  328. -men den betyder medelhastighet
    som ett begrepp.

  329. Så det här resonemanget gäller
    för alla symboler inom matematik.

  330. De kan tolkas på två olika sätt.

  331. Vi hade 10 elever
    som inte kunde tolka resultatet-

  332. -vilket innebär att de kan länka
    samman symbolspråket med processer-

  333. -men inte med begreppet
    som själva problematiken handlar om-

  334. -i det här fallet medelhastigheten.

  335. Sen hade vi elevgrupper-

  336. -som inte kunde skilja på
    medelhastighet och momentanhastighet.

  337. Som sagt, samtliga elever som inte
    kunde bestämma momentanhastigheten-

  338. -var elever som inte kunde tolka
    differenskvoten som medelhastighet.

  339. Det kanske innebär
    att medelhastigheten-

  340. -är en förutsättning
    för att förstå momentanhastigheten.

  341. Det är nåt som vi som lärare
    behöver lägga lite mer krut på-

  342. -och implementera en djup förståelse
    för medelhastighet-

  343. -innan vi går över till
    momentanhastigheten.

  344. Den har en koppling
    till tangentens lutning-

  345. -i mer matematiska termer.

  346. Nästan samtliga elever som använde
    derivata för att lösa uppgiften-

  347. -hade...en begreppsbild av derivatan-

  348. -som var starkt kopplad
    till förändringshastighet.

  349. Det var ingen av eleverna
    som sa att...

  350. ...hastigheten efter 8 sekunder är
    riktningskoefficienten för tangenten-

  351. -som vi drar till kurvan,
    2t i kvadrat plus det genom t är 8.

  352. Det var ingen
    som nämnde derivatans definition-

  353. -eller andra approacher
    till derivata.

  354. Det var många elever som hade...

  355. ...förändringshastighet som en stark
    bild att associera derivata till.

  356. Det här, som jag tyckte
    var intressant, var att...

  357. ...de elever
    som använder derivata för uppgiften-

  358. -inte hade samma terminologi
    i resonemanget.

  359. Vi hade elever som hade antal meter
    och antal sekunder i sina resonemang-

  360. -och sen hade vi elever
    som hade sträcka och tid i stället.

  361. Meter och sekunder är enheter,
    det kan vara olika i olika länder.

  362. Det är nåt som vi har kommit överens
    om, en slags matematisk konvention-

  363. -att vi betecknar eller...

  364. Ja...mäter sträcka i enheten meter.

  365. Det här kan vara olika
    i olika länder.

  366. Men sträcka och tid är kopplat
    till fysikaliska storheter-

  367. -som är starkt kopplade till begrepp,
    så...

  368. Det som vi kunde identifiera
    i elevernas resonemang-

  369. -var att man använde sig
    både av enheter och storheter.

  370. Vi tycker att man...

  371. Om man stödjer sig på fysikaliska
    eller matematiska begrepp-

  372. -sker det på en högre kognitiv nivå
    än med fysikaliska enheter.

  373. Det är nåt som man kan ha i tankarna-

  374. -när man bedömer elevernas muntliga
    presentation eller prestation.

  375. Vad har det här för konsekvenser
    för undervisning?

  376. Vi lärare har en ganska stor uppgift.

  377. För att vi ska kunna
    hjälpa eleverna på bästa sätt-

  378. -måste vi ta reda på vad eleverna
    har svårt för. Var ligger problemet?

  379. I den här studien kunde vi se att ett
    problem med matematiskt symbolspråk-

  380. -är att eleverna hade svårt att
    koppla symbolspråket i funktioner-

  381. -till motsvarande begrepp,
    i det här fallet medelhastigheten.

  382. Det var ingen av eleverna som sa:

  383. "Jag vet att det är medelhastighet,
    men jag kan inte räkna fram den."

  384. Nästan samtliga elever
    kunde räkna fram differenskvoten-

  385. -men nästan hälften av dem visste
    inte att det var medelhastighet.

  386. Man behöver inte introducera "f av x"
    för att introducera funktion.

  387. Vi har gott om exempel när det gäller
    beroende och samband i vardagen.

  388. Hur långt en bil kör beror på
    hur mycket bränsle bilen har.

  389. Hur långt man kommer i karriären
    beror på utbildning, kanske.

  390. Många såna här exempel som...

  391. ...som hjälper eleven att se funktion
    som en slags beroenderelation-

  392. -och inte bara en beteckning
    för ett abstrakt symbolspråk-

  393. -till exempel "f av x".

  394. Så innan vi introducerar det här
    komplexa, abstrakta symbolspråket-

  395. -som behandlar funktion så får vi
    introducera eller exemplifiera-

  396. -exempel från
    vardagslivets sammanhang.

  397. Just det.
    Hur kan man uppmärksamma eleverna på-

  398. -att symbolspråket kan tolkas på
    två sätt, eller har två dimensioner?

  399. Det är dels kopplat till en process
    och sen till ett begrepp.

  400. Det är bara att prata om det.
    Det hjälper.

  401. Jag har egen erfarenhet av att
    ha pratat med elever om det här.

  402. När ni jobbar med matematik...

  403. Matte är, eller har,
    ett välstrukturerat symbolspråk.

  404. Varje gång ni jobbar
    med matematiska symboler-

  405. -så ska ni tänka eller
    försöka tänka på två olika saker.

  406. Det här innebär en process,
    en sekvens av operationer-

  407. -men den är också kopplad
    till ett begrepp.

  408. I den här studien så visade det sig
    att det är just i länken-

  409. -mellan symboler och begrepp
    som det brister.

  410. Det är det vi behöver lägga krut på.

  411. Det är det vi behöver förstärka
    genom undervisning.

  412. Och att utgå från medelhastigheten,
    just i det här fallet.

  413. Vi utgår från medelhastigheten för
    att introducera momentanhastighet-

  414. -för att tydliggöra distinktionen
    mellan momentanvärde och medelvärde.

  415. Det här hänger ihop med symbolspråket
    och både operationer och begrepp.

  416. Att uppmana eller uppmuntra elever
    att de-

  417. -när de resonerar kring matematiska
    termer inom problemlösning-

  418. -inte minst i den muntliga delen
    av nationella provet i matematik-

  419. -att man använder sig
    av storheter och begrepp-

  420. -i stället för enheter, för enheter
    är nåt som vi har kommit överens om-

  421. -och det kan vara olika
    i olika länder.

  422. Men begreppet "avstånd" är ju samma
    i alla språk och kulturer.

  423. Vi har samma förståelse av
    vad avstånd betyder.

  424. Sen hur vi mäter det
    är nåt som man kommer överens om.

  425. Så det är olika.

  426. För er som är intresserade av-

  427. -problematiken kring
    matematisk symbolism-

  428. -så har min kollega Thomas Lingefjärd
    och jag skrivit några artiklar-

  429. -för olika tidskrifter
    som belyser just problematiken-

  430. -kring matematiskt symbolspråk,
    som ni gärna får läsa om ni har tid.

  431. Ska vi tacka för oss?

  432. Textning: Elin Csisar
    www.btistudios.com

Hjälp

Stäng

Skapa klipp

Klippets starttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.

Klippets sluttid

Ange tiden som sekunder, mm:ss eller hh:mm:ss.Sluttiden behöver vara efter starttiden.

Bädda in ditt klipp:

Bädda in programmet

Du som arbetar som lärare får bädda in program från UR om programmet ska användas för utbildning. Godkänn användarvillkoren för att fortsätta din inbäddning.

tillbaka

Bädda in programmet

tillbaka

Den symboliska matematiken

Produktionsår:
Längd:
Tillgängligt till:

Djamshid Farahani och Thomas Lingefjärd är forskare, lärare och handledare vid Göteborgs universitet. De inleder föreläsningen med en begreppslig förklaring av symboler och en historisk återblick på behovet av symboler. Studier har visat att studenter presterar sämre när de får lösa uppgifter av symbolisk karaktär än vad de gör när uppgifterna är av numerisk karaktär. Elevers svårighet att tolka innebörden av symboler anges vara orsaken. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Ämnen:
Matematik, Pedagogiska frågor > Utbildningsvetenskaplig forskning
Ämnesord:
Inlärning, Matematik, Symboler
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning

Alla program i UR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Programmering i matematiken

Hur får vi in programmering i våra läromedel och hur kan man arbeta med det i undervisningen? Från och med hösten 2018 ingår programmering som ett obligatoriskt inslag i läroplanen för såväl grundskolans som gymnasiets matematik. Daniel Barker är lärare och författare och ger konkreta förslag på sätt att arbeta med programmering och vad eleverna kan göra när de kommit in i programmeringsmiljön. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Produktionsår:
2018
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Den symboliska matematiken

Djamshid Farahani och Thomas Lingefjärd är forskare, lärare och handledare vid Göteborgs universitet. De inleder föreläsningen med en begreppslig förklaring av symboler och en historisk återblick på behovet av symboler. Studier har visat att studenter presterar sämre när de får lösa uppgifter av symbolisk karaktär än vad de gör när uppgifterna är av numerisk karaktär. Elevers svårighet att tolka innebörden av symboler anges vara orsaken. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Produktionsår:
2018
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Matematik i Shanghai

Matematik- och fysiklärarna Johan Thorssell och Svante Bohman berättar om undervisningsmetoder och innehåll i gymnasiematematiken. De jämför utbildning i Sverige med utbildning i Shanghai i Kina. Sedan 2004 har Polhemsgymnasiet i Göteborg haft ett samarbete och utbyte med en skola i Shanghai. 14 elever på naturvetenskapsprogrammet gör utbytet som gymnasiearbete i årskurs tre. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Produktionsår:
2018
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Undervisa med digitala verktyg

Ulrika Ryan är forskare i matematikdidaktik vid Malmö universitet och är en av modulmakarna bakom Skolverkets matematiklyftsmodul. Hon berättar här om undervisning med digitala verktyg i matematik, styrdokument som definierar uppdraget att undervisa med digitala verktyg, om förväntningar på matematikundervisningen och så kallad orkestrering i klassen. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Produktionsår:
2018
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Att få veta eller upptäcka

Mathias Norqvist berättar om sin forskning inom matematikdidaktik vid Umeå universitet. Han har studerat elevers sätt att tänka när de löser matematiska problem. Resultaten visar att de elever som kom på egna lösningar på problem lärde sig mer än de elever som arbetade med traditionella sätt att lösa matematiska uppgifter i läroböcker. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Produktionsår:
2018
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Laborativ matematik

Bengt Aspvall är professor i datalogi vid Blekinge tekniska högskola. Här ger han exempel på aktiviteter som kan användas i klassrummet för att förklara och förenkla hur datorer fungerar. Han förklarar olika begrepp och funktioner. Aktiviteterna genomförs med enkla hjälpmedel och utan dator. För matematikundervisning på alla nivåer. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Produktionsår:
2018
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Lärarledd undervisning och modern teknik

Vad kan hjärnforskning hjälpa till med när man planerar och genomför undervisning i matematik? Specialpedagogen Görel Sterner och forskaren Ola Sterner arbetar på Nationellt centrum för matematikutbildning, NCM. De berättar om det digitala matematikspelet Vektor och Resonera med Vektor och hur man kan arbeta med dem i klassrummet. Föreläsningen har fokus på förskoleklassens matematik, men är intressant för lärare inom hela grundskolan. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Produktionsår:
2018
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Spelbarhet:
UR Skola
Längd:
TittaUR Samtiden - Matematikbiennalen 2018

Den nya ämnesplanen i matematik

Johan Falk är undervisningsråd på Skolverket och har varit med och arbetat fram den reviderade ämnesplanen i matematik. Han berättar om vilka förändringar som gjorts och om vad som tillkommit, exempelvis symbolhanterande verktyg, numeriska verktyg, kalkylblad och programmering. Han ger också exempel på hur de kan användas i praktiken. Inspelat på Karlstads universitet den 25-26 januari 2018. Arrangör: Karlstads universitet.

Produktionsår:
2018
Utbildningsnivå:
Lärarfortbildning
Beskrivning
Visa fler

Mer lärarfortbildning & matematik

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
Titta UR Samtiden - Campus Stockholm

Rosling om en ny faktabaserad världsbild

Med hjälp av grafiska illustrationer och genom att ställa frågor vill Hans Rosling ifrågasätta den föråldrade världsbild som många av oss bär med sig som ett arv från den egna skoltiden. Det handlar om de historiska, ekonomiska, sociala och miljömässiga förändringar som har ägt rum i världen under de senaste decennierna. Inspelat den 21 oktober 2015 på Göta Lejon, Stockholm. Arrangör: Scool Oy.

Spelbarhet:
UR Skola
Längd
Lyssna Lärarrummet

Mattemusik

Musikläraren Bitten Löfgren har utvecklat den pedagogiska metoden mattemusik. Hon insåg tidigt att matte och musik har gemensamma egenskaper som kan öka barns förståelse för båda ämnena. Idag dansar och sjunger elever över hela landet bråk, vinklar och multiplikationstabellen.